人人都應(yīng)該學(xué)一些概率知識，它現(xiàn)在是公民必備知識?，F(xiàn)在的世界比過去復(fù)雜的多，其中有大量不確定性，是否理解概率，直接決定一個(gè)人的開化程度。
1. 隨機(jī)
概率論最基礎(chǔ)的思想——有些事情是無緣無故地發(fā)生的。這個(gè)思想對我們的世界觀有顛覆的意義。古人沒有這個(gè)思想，認(rèn)為一切事物都是有因果的，甚至可能都是有目的的。人們曾經(jīng)認(rèn)為世界像一個(gè)鐘表一樣精確的運(yùn)行。但真實(shí)世界不是鐘表，他充滿不可控的偶然。更嚴(yán)格的說，有些事情的發(fā)生，跟他之前發(fā)生的任何事情，都可以沒有因果關(guān)系。不論我們做什么都不能讓他一定發(fā)生，也不能讓他一定不發(fā)生。
一個(gè)人考了好大學(xué)，人們會說這是他努力的結(jié)果，一個(gè)人事業(yè)成功，人們會說這是他努力工作的結(jié)果。可是如果一個(gè)人買彩票中了大獎(jiǎng)，這又是為什么呢？答案是沒有任何原因，這完全是一個(gè)隨機(jī)事件?？倳腥速I彩票中獎(jiǎng)，而這一期彩票中獎(jiǎng)，跟他是不是好人，他在之前各期買過多少彩票，他是否關(guān)注中獎(jiǎng)號碼的走勢，沒有任何關(guān)系。
若一個(gè)人總是買彩票，他中獎(jiǎng)的概率會比別人大點(diǎn)吧。的確，他一生之中中一次獎(jiǎng)的概率比那些只是偶然買一次彩票的人大。但是當(dāng)他跟上千萬個(gè)人一起面對一次開獎(jiǎng)的時(shí)候，他不具備任何優(yōu)勢。他之前所有的努力，對他在這次開獎(jiǎng)中的運(yùn)氣沒有任何幫助。一個(gè)此前沒有買過任何彩票的人，完全有可能，而且有同樣大的可能，在某一次開獎(jiǎng)中把最高獎(jiǎng)金拿走。中獎(jiǎng)，既不是他個(gè)人努力的結(jié)果，也不是“上天”對他有所“垂青”；不中，也不等于任何人與他做對。這就是“隨機(jī)”，你沒有任何辦法左右結(jié)果。
但大多數(shù)事情并不是完全的隨機(jī)事件。偶然和必然結(jié)合在一起，就沒那么容易理解了。人們經(jīng)常錯(cuò)誤的理解偶然，總想用必然去解釋偶然。
體育比賽是最典型的例子。球隊(duì)贏了球，人人有功，記者幫著分析取勝之道；輸了球，人人有責(zé)，里里外外都要進(jìn)行反思，甚至反思能上升到國民素質(zhì)的層次。但比賽其實(shí)是充滿偶然的事件，你所能做的就是盡可能爭取勝利。哪怕準(zhǔn)備的再好，總有一些因素是不確定的，也就是我們常說的運(yùn)氣。很少有記者把輸球或贏球的原因歸結(jié)于運(yùn)氣，人們被隨機(jī)性所迷惑，狂喜狂怒從不淡定，甚至不惜人身攻擊。實(shí)際上，現(xiàn)代職業(yè)化競技體育中，參賽者之間的實(shí)力差距并不是天壤之別，決定比賽結(jié)果的偶然性因素非常大。強(qiáng)隊(duì)也會輸給弱隊(duì)，這是現(xiàn)代體育的重要特征，也是魅力所在。若強(qiáng)隊(duì)一定勝利，比賽還有什么懸念？所以偶然因素不值得較真，只要輸少贏多依然還是強(qiáng)隊(duì)。
理解隨機(jī)性，我就知道很多事情發(fā)生就發(fā)生了，沒有太大可供解讀的意義。我們不能從這件事獲得什么教訓(xùn)，不值得較真，甚至不值得采取行動。比如，再完美的交通工具也不可能百分百安全，我們會因?yàn)闃O小的事故概率不坐飛機(jī)嗎？我們只需要確定事故概率比其他旅行方式小就可以了。甚至連這都不需要，只需要確定這個(gè)小概率事件我們能夠容忍就可以了。避免一朝被蛇咬十年怕井繩。
2.誤差
既然絕大多數(shù)事情都同時(shí)包含偶然因素和必然因素，我們自然就想排除偶然去發(fā)現(xiàn)背后的必然。偶然的失敗和成功都不必大驚小怪，根據(jù)必然因素去發(fā)現(xiàn)判斷，這總可以吧？可以，但是必須先理解誤差。
歷史上最早的科學(xué)家曾經(jīng)不承認(rèn)實(shí)驗(yàn)可以有誤差，認(rèn)為所有的測量必須都是精確的，把任何誤差歸結(jié)為錯(cuò)誤。后來人們才漸漸意識到偶然因素是永遠(yuǎn)存在的，即使實(shí)驗(yàn)條件再精確也無法完全避免隨機(jī)干擾的影響，所以做科學(xué)實(shí)驗(yàn)往往要測量多次，用取平均值之類的統(tǒng)計(jì)手段得出結(jié)果。
多次測量確實(shí)是一個(gè)排除偶然因素的好辦法。國足輸?shù)舯荣愐院蠼?jīng)常抱怨偶然因素，裁判不公、主力不在、不適應(yīng)客場氣候，草皮太軟、草皮太硬等等。關(guān)鍵是，如果經(jīng)常輸球，還是可以得出國足是個(gè)弱隊(duì)的結(jié)論。
即便科學(xué)實(shí)驗(yàn)也是如此，科學(xué)家哪怕是測量一個(gè)定義明確的物理參數(shù)，也不能給出最后的“真實(shí)答案”，他們總在測量結(jié)果上加一個(gè)誤差范圍。比如最近發(fā)現(xiàn)的希格斯粒子質(zhì)量為125.3±0.4(stat) ±0.5(sys) GeV.意思是質(zhì)量125.3，但其中有0.4的統(tǒng)計(jì)誤差，還有0.5的系統(tǒng)誤差。真實(shí)的質(zhì)量其實(shí)只有一個(gè)，但這個(gè)數(shù)字是多少，我不知道，它可以是這個(gè)誤差范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)字。事實(shí)上，甚至可能是誤差范圍外的一個(gè)數(shù)字。這是因?yàn)檎`差范圍是一個(gè)概率計(jì)算的結(jié)果，這個(gè)范圍的意思是說物理學(xué)家相信真實(shí)值落在這個(gè)范圍以外的可能性非常非常小。
所以真實(shí)值非常不易得。而且，別忘了科學(xué)實(shí)驗(yàn)是非常理想化的，大多數(shù)事情根本沒有機(jī)會多次測量。若只能測一次，那么對這一次測量的結(jié)果該怎么解讀？只能根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和類似案例，來估計(jì)一個(gè)大致的范圍。有了誤差的概念，就要學(xué)會忽略誤差范圍內(nèi)的任何波動。
3.賭徒謬誤
假如一個(gè)人在賭場玩老虎機(jī)，一上來運(yùn)氣不太好，連輸好幾把。這時(shí)候你是否有種強(qiáng)烈的感覺，你很快該贏了？買股票、期貨、彩票都是一樣。對投資標(biāo)的一無所知的情況下，投資相當(dāng)于賭博。連續(xù)好幾把上來就虧損的情況下，是不是覺得下一把掙錢的概率很大？很多投資大師都說，自己判斷失誤也很多，錯(cuò)了及時(shí)止損，對了繼續(xù)追加，抓住趨勢，一把能翻回來。聽起來很簡單是不是。
這完全是一種錯(cuò)覺。賭博完全是獨(dú)立的隨機(jī)事件，這意味著下一把的結(jié)果和以前所有的結(jié)果都沒有任何聯(lián)系，已經(jīng)發(fā)生了的事情不會影響將來。
概率論中有個(gè)“大數(shù)定律”說如果進(jìn)行足夠多的抽獎(jiǎng)，那么各種不同結(jié)果出現(xiàn)的頻率就會等于他們的概率。對上面這個(gè)例子來說，如果抽取的次數(shù)足夠多，那么2和6的次數(shù)大致相等。
但人們常常錯(cuò)誤的理解隨機(jī)性和大數(shù)定律，以為隨機(jī)就意味著均勻。如果過去一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事情不均勻，人們就錯(cuò)誤的以為未來的事情會盡量往“抹平”的方向走，用更多的2去平衡此前多出來的6。但大數(shù)定律的工作機(jī)制不是和過去搞平衡，它的真實(shí)意思是說如果未來進(jìn)行非常多次的抽獎(jiǎng)，你會得到非常多的2和非常多的6，以至于他們此前的一點(diǎn)點(diǎn)差異就會變得微不足道。
賭徒謬誤，例子：有人認(rèn)為號碼2已經(jīng)連續(xù)出現(xiàn)了3期，而號碼6已經(jīng)連續(xù)出現(xiàn)了5期，則再一次號碼中2出現(xiàn)的概率明顯大于6。這完全錯(cuò)誤，下一次出現(xiàn)號碼2和號碼6的概率是完全相等的。
例如，有個(gè)笑話說一個(gè)人乘坐飛機(jī)時(shí)總帶著一顆炸彈，他認(rèn)為這樣就不會被恐怖分子炸粉機(jī)了，因?yàn)橐患茱w機(jī)上有兩顆炸彈的可能性非常小。再比如戰(zhàn)場上士兵有個(gè)說法，如果戰(zhàn)斗中炸彈在你身邊爆炸，你應(yīng)該迅速跳進(jìn)那個(gè)彈坑，因?yàn)閮深w炸彈不大可能打到同一個(gè)地方。
這都是不理解獨(dú)立隨機(jī)事件導(dǎo)致的。
4.在沒有規(guī)律的地方發(fā)現(xiàn)規(guī)律
理解了隨機(jī)性和獨(dú)立隨機(jī)事件，我們可以得到一個(gè)結(jié)論：獨(dú)立隨機(jī)事件的發(fā)生是沒有規(guī)律和不可預(yù)測的，這是一個(gè)非常重要的智慧。彩票分析師，相信中獎(jiǎng)號碼存在走勢，相信其中的規(guī)律，所以近期多次出現(xiàn)的組合可能會繼續(xù)出現(xiàn)，或者按照這個(gè)趨勢可以預(yù)測下一個(gè)號碼。但這里根本沒有規(guī)律，是完全隨機(jī)的現(xiàn)象，即便存在缺陷，也需要大量的開獎(jiǎng)后才能發(fā)現(xiàn)，而且缺陷的結(jié)果也很簡單，無非是某個(gè)特定號碼出現(xiàn)的可能性略大一些，完全談不上什么復(fù)雜規(guī)律。明明沒有規(guī)律，這些彩票分析師是怎么看出規(guī)律來的呢？也許他們不是故意騙人，而很可能他們真的相信自己找到了彩票的規(guī)律。
發(fā)現(xiàn)規(guī)律是人的本能，春天過后是夏天，烏云壓頂常下雨，大自然中很多事情的確是有規(guī)律的。我們的本能工作的如此之好，以至于我們在明明沒有規(guī)律的地方也能找出規(guī)律來。人腦很擅長理解規(guī)律，但是很不擅長理解隨機(jī)性。
在沒有規(guī)律的地方發(fā)現(xiàn)規(guī)律是很容易的事情，只要你愿意忽略所有不符合你這個(gè)規(guī)律的數(shù)據(jù)。而且如果數(shù)據(jù)夠多，我們可以找到任何我們想要的規(guī)律。有人拿圣經(jīng)做字符串游戲，在特定位置中尋找對應(yīng)世界大事的字母組合，并聲稱這是圣經(jīng)對后世的預(yù)言。問題是，這些預(yù)言可以完美的解釋已經(jīng)發(fā)生的事情，但在預(yù)測未發(fā)生的事情時(shí)就不好使了。關(guān)鍵是圣經(jīng)中有很多很多字符，如果仔細(xì)尋找，尤其是借助計(jì)算機(jī)的話，總能找到任何想要的東西。
未來是不可被精確預(yù)測的，這個(gè)世界也并不像鐘表那樣運(yùn)行。
5.小數(shù)定律
現(xiàn)在我們知道，數(shù)據(jù)足夠多的話，人們可以找到任何自己想要的重要規(guī)律，只要他不在乎這些規(guī)律的嚴(yán)格性和自洽性。那么在數(shù)據(jù)足夠少的情況下又會如何？如果數(shù)據(jù)足夠少，有些規(guī)律會自己跳出來，你甚至不相信都不行。例子：
“巴西隊(duì)的禮物”：只要巴西奪冠，下一屆的冠軍就將是主辦大賽的東道主，除非巴西隊(duì)自己將禮物收回。這一定律在2006年被破解。
“1982軸心定律”世界杯奪冠球隊(duì)以1982年世界杯為中心呈對稱分布，這個(gè)定律在2006年被破解。
還有一些未破解的定律：凡是獲得聯(lián)合會杯或美洲杯，就別想在下一屆世界杯奪冠。
如果數(shù)據(jù)少，隨機(jī)現(xiàn)象可以看上去很不隨機(jī)，甚至非常整齊，感覺好像真有規(guī)律一樣。V2導(dǎo)彈轟炸倫敦的落點(diǎn)分布，被誤認(rèn)為V2有極高的精度，誤導(dǎo)盟軍戰(zhàn)略部署，直到數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問題。
如果統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)很少，就很容易出現(xiàn)特別不均勻的情況。這個(gè)現(xiàn)象被諾獎(jiǎng)得主丹尼爾·卡尼曼戲稱為“小數(shù)定律”?？崧f，如果我們不理解小數(shù)定律，就不能真正理解大數(shù)定律。
大數(shù)定律是我們從統(tǒng)計(jì)數(shù)字中推測真相的理論基礎(chǔ)。大數(shù)定律說如果統(tǒng)計(jì)樣本足夠大，那么事物出現(xiàn)的頻率就能無限接近他的理論概率——也就是他的“本性”。而小數(shù)定律說如果樣本不夠大，那么他就表現(xiàn)為各種極端情況，而這些情況可以跟他的本性一點(diǎn)關(guān)系都沒有。一個(gè)只有二十人的鄉(xiāng)村中學(xué)某年突然有兩人考上清華，跟一個(gè)有兩千人的中學(xué)每年都有兩百人考上清華，完全沒有可比性。
如果統(tǒng)計(jì)樣本不夠大，就什么也說明不了。
正因?yàn)槿绱?，我們才不能只憑自己的經(jīng)驗(yàn)，哪怕加上家人和朋友的經(jīng)驗(yàn)，去對事物做出判斷。我們的經(jīng)驗(yàn)非常有限。別看個(gè)例，看大規(guī)模統(tǒng)計(jì)。
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